給定一可逆矩陣 以及一向量 ,我們想找出 ;這就是我們今天要解決的線性系統 (linear system) 問題。在量子計算的領域,線性系統問題稱為 Quantum Linear System Problem (QLSP),與古典的線性系統問題稍有差異,有興趣的讀者可以翻閱 QCnote 第十章。
HHL 是最早且廣為人知的解決 QLSP 的演算法;今天,我們要探討的則是基於 QSVT 的另類演算法,其與 HHL 各有優劣,讓我們繼續看下去。
QLSP 的問題核心在於準備 的量子電路,接著只要再將 應用在初始量子態 上即大功告成。那麼,逆矩陣和奇異值有什麼關係?令 為 的 SVD,則 且 (因為 和是么正矩陣,所以 , 亦同)。由於 是實對角矩陣,所以 且 僅是將主對角線上的元素取倒數!換句話說,若
則
看出來了嗎?我們只需對 的奇異值做 的多項式轉換,就能得到 !若 不可逆,上述的手法也可以用在計算偽逆矩陣 (pseudoinverse matrix)。
HHL 的一大缺點在於,由於計算過程需要 QPE,因此所需 qubit 數量多 (隨精確度增加)。相對的,基於 QSVT 的解法只需約略與矩陣大小相當的量子暫存器,但是電路深度卻隨著精確度提高:精確度來自多項式 逼近 的次數 (degree),次數越高結果越精確,但深度也隨之增加!很不幸的,對 NISQ 時期的量子電腦而言,上百個量子閘的深度已經是極限了,但此 QSVT 方法的電路深度動輒數千,因此現階段難以實現!
即使如此,此基於 QSVT 的演算法的 query complexity (衡量量子演算法的方法之一,類似時間複雜度) 在誤差的依賴上,相對於 HHL 有著指數優化 (線性 對數)。讓我們期待,在未來的量子電腦上他大放異彩的那天!